Question

9．如圖，在矩形ABCD中，點E在線段BC上，DF⊥AE，垂足為點F，DF=AB；

（1）如圖1，求證：BC=AE
（2）如圖2，連接DE，點G在線段AF上，∠FDE+2∠DGE=90°，點K是線段EG中點，求證：DE=2KF；
（3）如圖3，在（2）的條件下，DH為△GDE的角平分線，DM⊥DH，交∠DGE的角平分線于點M，若DG=6，KF=2，求tan∠DMG的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接DE．由DF=DC，DF⊥EA，DC⊥EC，推出∠DEC=∠DEF=∠ADE，推出AD=AE=BC．
（2）如圖2中，在AF上取一點T，使得FT=EF．首先證明∠TGD=∠TDG，推出GT=DT=DE，推出DE=GT=GK+KT=KF+EF+KF-TF=2KF．
（3）首先證明∠M=∠DGE．設EF=a，則GK=KE=2+a，F(xiàn)G=4+a，因為∠DFE=∠DFG=90°，根據(jù)DF²=DG²-GF²=DE²-EF²，可得6²-（4+a）²=4²-a²，求出a=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)tan∠DMG=tan∠DGF=$\frac{DF}{FG}$，求出DF、FG即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接DE．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC
∵DF=AB，
∴DF=DC，
∵DF⊥EA，DC⊥EC，
∴∠DEC=∠DEF=∠ADE，
∴AD=AE=BC．

（2）證明：如圖2中，在AF上取一點T，使得FT=EF．

∵DF⊥ET，
∴DT=DE，
∴∠DTF=∠DET，∠FDT=∠FDE，
∵∠FDE+2∠DGE=90°，∠FDE+∠DEF=90°，
∴∠DTE=2∠DGE，
∵∠DTE=∠TGD+∠GDT，
∴∠TGD=∠TDG，
∴GT=DT=DE，
∵GK=KE，
∴DE=GT=GK+KT=KF+EF+KF-TF=2KF．

（3）解：如圖3中，

∵CM平分∠DGE，DH平分∠GDE，
∴∠FDG+∠FGD+$\frac{1}{2}$∠DEG=90°，
∵∠DFM=∠FDG+∠FGD，
∴∠DFM+$\frac{1}{2}$∠DEG=90°，
∵DM⊥DH，
∴∠MDH=90°，
∴∠M+∠DFM=90°，
∴∠M=$\frac{1}{2}$∠DEG，
由（2）可知，∠DGE=$\frac{1}{2}$∠DEG，DE=2FK=4，
∴∠M=∠DGE．設EF=a，則GK=KE=2+a，F(xiàn)G=4+a，
∵∠DFE=∠DFG=90°，
∴DF²=DG²-GF²=DE²-EF²，
∴6²-（4+a）²=4²-a²，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{9}{2}$，
在Rt△DFG中，DF=$\sqrt{D{G}^{2}-G{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{7}$，
∴tan∠DMG=tan∠DGF=$\frac{DF}{FG}$=$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{7}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、角平分線的判定定理、三角形內角和、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．