Question

17．如圖，PA、PB與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，C為優(yōu)弧$\widehat{AB}$上一點(diǎn)，若tan∠ACB=2，則sin∠APB的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{5}{12}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 連接AB，過A作AD⊥PB于D，作直徑BE，連接AE，由切線的性質(zhì)和圓周角定理得到∠PBA+∠ABE=90°，∠E+∠ABE=90°，求出∠E=∠C，求出∠E=∠PBA，解直角三角形求出即可．

解答 解：連接AB，過A作AD⊥PB于D，作直徑BE，連接AE，
∵PB為⊙O的切線，
∴BE⊥PB，
∴∠PBA+∠ABE=90°，
∵BE為直徑，
∴∠BAE=90°，
∴∠E+∠ABE=90°，
∴∠E=∠ABP，
∵∠E=∠C，
∴∠C=∠ABP，
∵tan∠ACB=2，∴設(shè)AD=2x，則BD=x，
∵PA、PB與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，
∴PA=PB，
在R_t△APD中，PA²=PD²+AD²，
∴PA²=（PA-x）²+（2x）²，
∴PA=$\frac{5}{2}$x，
∴sin∠APB=$\frac{AD}{PA}$=$\frac{2x}{\frac{5}{2}x}$=$\frac{4}{5}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．