Question

13．如圖，點A₁、A₂、A₃、…、An在拋物線y=x²圖象上，點B₁、B₂、B₃、…、B_n在y軸上，若△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂、…、△A_nB_n-1B_n都為等腰直角三角形（點B₀是坐標(biāo)原點），則△A₂₀₁₅B₂₀₁₄B₂₀₁₅的腰長=2015$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用等腰直角三角形的性質(zhì)及點的坐標(biāo)的關(guān)系求出第一個等腰直角三角形的腰長，用類似的方法求出第二個，第三個…的腰長，觀察其規(guī)律，最后得出結(jié)果．

解答 解：作A₁C⊥y軸，A₂E⊥y軸，垂足分別為C、E．
∵△A₁B₀B₁、△A₂B₁B₂都是等腰直角三角形，
∴B₁C=B₀C=DB₀=A₁D，B₂E=B₁E．
設(shè)A₁（a，b），則a=b，將其代入解析式y(tǒng)=x²得：
∴a=a²，
解得：a=0（不符合題意）或a=1，
由勾股定理得：A₁B₀=$\sqrt{2}$，
∴B₁B₀=2，
過B₁作B₁N⊥A₂F，設(shè)點A（x₂，y₂），
可得A₂N=y₂-2，B₁N=x₂=y₂-2，
又點A₂在拋物線上，所以y₂=x₂²，
（x₂+2）=x₂²，
解得x₂=2，x₂=-1（不合題意舍去），
∴A₂B₁=2$\sqrt{2}$，
同理可得：
A₃B₂=3$\sqrt{2}$，
A₄B₃=4$\sqrt{2}$，
  …
∴A₂₀₁₅B₂₀₁₄=2015$\sqrt{2}$，
∴△A₂₀₁₅B₂₀₁₄B₂₀₁₅的腰長為：2015$\sqrt{2}$．
故答案為2015$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了在函數(shù)圖象中利用點的坐標(biāo)與圖形的關(guān)系求線段的長度，涉及到了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，拋物線的解析式的運(yùn)用等多個知識點．