Question

18．如圖，在矩形ABCO中，A點(diǎn)在y軸上，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），C點(diǎn)坐標(biāo)是（8，0），對(duì)角線AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，交OC于點(diǎn)F．
（1）直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)度；
（2）求直線EF的函數(shù)解析式；
（3）若點(diǎn)M在直線EF上，則平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得四邊形ODMN是菱形？若存在，清求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=OC，由于A點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），C點(diǎn)坐標(biāo)是（8，0），即可求得結(jié)果；
（2）直線DE是AC的中垂線，利用待定系數(shù)法以及互相垂直的兩直線的關(guān)系即可求得DE的解析式；
（3）當(dāng)四邊形ODMN是菱形時(shí)，OD=DM，求得OD²=4²+2²=20，由點(diǎn)M在直線EF上，設(shè)：M（a，2a-6），根據(jù)OD²=DM²，得到20=（a-4）²+[2-（2a-6）]²，求出M₁（2，-2），M₂（6，6），當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M₁（2，-2）時(shí)，O（0，0）D（4，2），N₁（b，d），由OM的中點(diǎn)與DN₁的中點(diǎn)重合，列方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵在矩形ABCO中，
∴AB=OC，AB∥OD，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），C點(diǎn)坐標(biāo)是（8，0），
∴B（8，4），
∴AB=8；

（2）∵EF垂直平分線AC交AC于D，
∴D為矩形AOCB的中心，
∴D（4，2），
∵EF⊥AC，
∴直線AC的斜率=-$\frac{1}{2}$，直線EF的斜率=2，
設(shè)直線EF的解析式為：y=2x+b，
∴2=4×2+b，
∴b=-6，
∴直線EF的函數(shù)解析式為：y=2x-6；

（3）當(dāng)四邊形ODMN是菱形時(shí)，OD=DM，∴OD²=4²+2²=20，
∵點(diǎn)M在直線EF上，
∴設(shè)：M（a，2a-6），
∴OD²=DM²，即：20=（a-4）²+[2-（2a-6）]²，
解得：a₁=2，a₂=6，∴M₁（2，-2），M₂（6，6），
當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M₁（2，-2）時(shí)，O（0，0）D（4，2），N₁（b，d），
∴OM的中點(diǎn)與DN₁的中點(diǎn)重合，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+2}{2}=\frac{4+b}{2}}\\{\frac{0-2}{2}=\frac{2+d}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{d=-4}\end{array}\right.$，
∴N₁（-2，-4），
當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M₂（6，6）時(shí)，
∴OM的中點(diǎn)與DN₂的中點(diǎn)重合
，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{0+6}{2}=\frac{4+b}{2}}\\{\frac{0+6}{2}=\frac{2+d}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴N₂（2，4），
綜上所述：若點(diǎn)M在直線EF上，則平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得四邊形ODMN是菱形，清N點(diǎn)的坐標(biāo)為N₁（-2，-4），N₂（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，菱形的性質(zhì)，勾股定理，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，本題對(duì)于N的位置的討論是解第三問(wèn)的關(guān)鍵．