Question

8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c過點（-1，0），且對稱軸為直線x=1，有下列結(jié)論：
①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③拋物線經(jīng)過點（4，y₁）與點（-3，y₂），則y₁＞y₂；④無論a，b，c取何值，拋物線都經(jīng)過同一個點（-$\frac{c}{a}$，0）；⑤am²+bm+a≥0，其中所有正確的結(jié)論是②④⑤．

Answer 1

分析 由開口方向、對稱軸及拋物線與y軸交點位置可判斷①；由x=3時的函數(shù)值及a＞0可判斷②；由拋物線的增減性可判斷③；由當x=-$\frac{c}{a}$時，y=a•（-$\frac{c}{a}$）²+b•（-$\frac{c}{a}$）+c=$\frac{c（a-b+c）}{a}$且a-b+c=0可判斷④；由x=1時函數(shù)y取得最小值及b=-2a可判斷⑤．

解答 解：由圖象可知，拋物線開口向上，則a＞0，
頂點在y軸右側(cè)，則b＜0，
拋物線與y軸交于負半軸，則c＜0，
∴abc＞0，故①錯誤；

∵拋物線y=ax²+bx+c過點（-1，0），且對稱軸為直線x=1，
∴拋物線y=ax²+bx+c過點（3，0），
∴當x=3時，y=9a+3b+c=0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正確；

∵對稱軸為x=1，且開口向上，
∴離對稱軸水平距離越大，函數(shù)值越大，
∴y₁＜y₂，故③錯誤；

當x=-$\frac{c}{a}$時，y=a•（-$\frac{c}{a}$）²+b•（-$\frac{c}{a}$）+c=$\frac{{c}^{2}-bc+ac}{a}$=$\frac{c（a-b+c）}{a}$，
∵當x=-1時，y=a-b+c=0，
∴當x=-$\frac{c}{a}$時，y=a•（-$\frac{c}{a}$）²+b•（-$\frac{c}{a}$）+c=0，
即無論a，b，c取何值，拋物線都經(jīng)過同一個點（-$\frac{c}{a}$，0），故④正確；

x=m對應(yīng)的函數(shù)值為y=am²+bm+c，
x=1對應(yīng)的函數(shù)值為y=a+b+c，
又∵x=1時函數(shù)取得最小值，
∴am²+bm+c≥a+b+c，即am²+bm≥a+b，
∵b=-2a，
∴am²+bm+a≥0，故⑤正確；
故答案為：②④⑤．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．