Question

【題目】在中, ,,,點是斜邊的中點,以點為頂點作,射線、分別交邊、于點、.

特例

（1）如圖1，若，不添加輔助線，圖1中所有與相似的三角形為 ， ；

操作探究：

（2）將（1）中的從圖1的位置開始繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，如圖2，當(dāng)射線，分別交邊、于點、時，求的值；

拓展延伸：

（3）如圖3，中，，，，點是斜邊的中點，以點為頂點作，射線、分別交邊、的延長線于點、，則的值為 .（用含、的代數(shù)式表示，直接回答即可）

Answer 1

【答案】解：（1），，；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)預(yù)備定理以及相似三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；

（2）由旋轉(zhuǎn)可知: ,且證得∽，利用（1）中的結(jié)論可求得答案；

（3）構(gòu)造輔助線，易證得，利用上述的方法，可求得結(jié)論.

解：（1），∴

∵，，

∴，∴

∵點是斜邊的中點,，，

∴，

∴

故答案是：，，

（2）由（1）得，∽

∴

∵點是斜邊的中點

∴

∵

∴

同理可得

由旋轉(zhuǎn)可知: ,且

∴∽

∴

(3) 作DPBC于P，作DQAC于Q，如圖，

∵DPBC，，點是斜邊的中點，

∴，∴，

∵DQAC，，點是斜邊的中點，

∴，∴，

∵DPBC，DQAC，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，