Question

20．如圖，已知點A是雙曲線y=-$\frac{5}{x}$在第二象限分支上的一個動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第一象限內(nèi)，隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上運動，則k的值是15．

Answer 1

分析 設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，-$\frac{5}{a}$），連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過點C作CD⊥x軸于點D，設(shè)出點C坐標(biāo)，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，繼而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：設(shè)A（a，-$\frac{5}{a}$），
∵點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC=$\sqrt{3}$AO，
∵AO=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{5}{a}）^{2}}$，
∴CO=$\sqrt{3}$AO=$\sqrt{3{a}^{2}+\frac{75}{{a}^{2}}}$，
過點C作CD⊥x軸于點D，
則可得∠BOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠BOD=tan∠OCD，即$\frac{\frac{5}{a}}{a}$=$\frac{x}{y}$，
解得：y=$\frac{{a}^{2}}{5}$x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+$\frac{75}{{a}^{2}}$，
將y=$\frac{{a}^{2}}{5}$x代入，
可得：k=xy=15．
故答案為15．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識，綜合考察的知識點較多，解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識融會貫通，注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．