Question

如圖，等圓⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O₁經(jīng)過⊙O₂的圓心O₂，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，兩圓分別與x軸交于C、D兩點(diǎn)，y軸與⊙O₂相切于點(diǎn)O₁，點(diǎn)O₁在y軸的負(fù)半軸上．
①四邊形AO₁BO₂為菱形；
②點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是點(diǎn)O₂的橫坐標(biāo)的兩倍；
③∠ADB=60°；
④△BCD的外接圓的圓心是線段O₁O₂的中點(diǎn)．
以上結(jié)論正確的是

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：①連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂根據(jù)菱形的判定定理即可得出結(jié)論；
②根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論；
③連接O₁O₂，AB，BD，根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論；
④先判斷出△BCD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形外心的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：①如圖1所示，連接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，
∵圓⊙O₁與⊙O₂是等圓，
∴AO₁=AO₂=BO₁=BO₂，
∴四邊形AO₁BO₂為菱形，故①正確；

②∵AD是⊙O₂的弦，
∴O₂在線段AD的垂直平分線上，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)不是點(diǎn)O₂的橫坐標(biāo)的兩倍，故②錯誤；

③連接O₁O₂，AB，BD，
∵y軸是⊙O₂的切線，
∴O₁O₂⊥y軸，
∵AD∥O₁O₂．
∵四邊形AO₁BO₂為菱形，
∴AB⊥O₁O₂，O₁E=O₂E，
∴∠BAD=90°，
∴BD過點(diǎn)O₂，
∴O₂E是△ABD的中位線，
∴AD=O₁O₂=

1

2

BD，
∴∠ADB=60°，故③正確；

④∵由③知，2AD=BD，
∴CD=BD=BC，
∴△BCD的外心是各邊線段垂直平分線的交點(diǎn)，
∵O₁O₂的中點(diǎn)是△BCD中位線的中點(diǎn)，
∴△BCD的外接圓的圓心不是線段O₁O₂的中點(diǎn)，故④錯誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的性質(zhì)、菱形的判定定理及直角三角形的性質(zhì)，難度適中．