Question

14．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，$\frac{3}{2}$），點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且PA+PB的值最�。�
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在x軸上有一點(diǎn)M，點(diǎn)M、A、P恰好為等腰△APM的三個(gè)頂點(diǎn)．
①若AP為△APM的腰，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若PA為△APM的底邊，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BC交x軸于p，此時(shí)PA+PB最�。�求出BC的解析式即可解決問(wèn)題．
（2）①在Rt△AOP中，OA=3，OP=4，可知AP=5，分兩種情形討論A為等腰三角形的頂角，P為等腰三角形的頂角即可．
②如圖2中，作AP的垂直平分線交AP于N，交x軸于M，設(shè)OM=x，則AM=PM=4-x，在Rt△AOM中，根據(jù)AM²=OA²+OM²，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BC交x軸于p，此時(shí)PA+PB最小．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，
令y=0，$\frac{3}{4}$x-3=0，x=4，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，0）．
（2）①在Rt△AOP中，OA=3，OP=4，
∴AP=5，
∴AP為△APM的腰，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（9，0）或（-1，0）或（-4，0）．

②如圖2中，作AP的垂直平分線交AP于N，交x軸于M，

∵M(jìn)A=MP，設(shè)OM=x，則AM=PM=4-x，
在Rt△AOM中，∵AM²=OA²+OM²，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=$\frac{7}{8}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（$\frac{7}{8}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、周邊游圖形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，需要用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最值問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．