Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一點(diǎn)，且2AD²=BD²+CD²．求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專題：證明題

分析：作AE⊥BC于E，由于AB=AC，所以BE=CE，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，BD=ED+BE，CD=CE-DE，代入2AD²=BD²+CD²求出AE=BE=CE三者之間的關(guān)系，得到∴△AEB與△AEC都是等腰直角三角形，即可得證．

解答：證明：作AE⊥BC于E，如圖所示：
由題意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴BE=CE，
由勾股定理可得：
AD²=AE²+DE²，
∵BD²+CD²=（BE+ED）²+（CE-DE）²=BE²+CE²+2DE²，
∵2AD²=BD²+CD²，
∴2AE²+2DE²=BE²+CE²+2DE²，
∴2AE²=BE²+CE²，
∴AE=BE=CE，
∴△AEB與△AEC都是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠CAE=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查勾股定理，關(guān)鍵在于找出直角三角形利用勾股定理求證，本題主要運(yùn)用“等量代換”求出BE、CE、AE三者之間的關(guān)系．