Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D為斜邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作BC的垂線交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使得BF=CE，連接EF．
（1）若AB=2，BF=3，求AD的長(zhǎng)度；
（2）G為AC中點(diǎn)，連接GF，求證：∠AFG+∠BEF=∠GFE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證DE∥AB，可得△ABC∽△DEC，即可證明△CDE為等腰直角三角形，根據(jù)CE即可求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)AB可求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)AD=AC+CD即可解題；
（2）連接EG、BG，易證BG=CG，∠ABG=∠ACB=45°，即可證明△GBF≌△GCE，可得GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，即可證明△EFG為等腰直角三角形，可得∠GFE=∠GEF，根據(jù)∠GEF=∠BEG+∠BEF即可解題．

解答：解：（1）∵DE⊥BE，AB⊥BE，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△DEC，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∵CE=BF=3，∴CD=3

2

，
∵AB=2，∴AC=2

2

，
∴AD=AC+CD=5

2

；

（2）連接EG、BG，證明△GBF≌△GCE．：∠AFG+∠BEF=∠GFE．
∵G是等腰直角△ABC斜邊AC中點(diǎn)，
∴BG=CG，∠ABG=∠ACB=45°，
∴∠GBF=∠GCE=135°，
∵在△GBF和△GCE中，

GB=GC ∠GBF=∠GCE BF=CE

，
∴△GBF≌△GCE，（SAS）
∴GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，
∵∠BGF+∠FGC=90°，
∴∠CGE+∠FGC=90°，即∠EGF=90°，
∴△EFG為等腰直角三角形，
∴∠GFE=∠GEF=45°，
∵∠GEF=∠BEG+∠BEF，
∴∠GEF=∠AFG+∠BEF，
∴∠AFG+∠BEF=∠GFE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△GBF≌△GCE是解題的關(guān)鍵．