Question

10．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²-3=0．
（1）若此方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)k取值范圍；
（2）如果此方程的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，且滿足$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=4（k+1）²-4（k²-3）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3，再把$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$通分得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，所以$\frac{2（k+1）}{{k}^{2}-3}$=-$\frac{2}{3}$，然后解此方程，再利用（1）中k的取值范圍確定k的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=4（k+1）²-4（k²-3）≥0，
解得k≥-2；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2（k+1）}{{k}^{2}-3}$=-$\frac{2}{3}$，
整理得k²+3k=0，解得k₁=0，k₂=-3，
而k≥-2，
∴k=0．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．