Question

如圖，梯形AEFD中，EF∥AD，∠F=90°，以AE為直徑的⊙O交FD于B、C，若AD=3，BC=4，CD=1，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,梯形中位線定理

專題：

分析：過點(diǎn)O作OM⊥BC，連結(jié)AB、BE、OB，先根據(jù)垂徑定理得出CM的長，故可得出DM的長，再求出△ADB∽△BFE，由相似三角形的性質(zhì)得出FE的長，由梯形中位線定理得出OM的長，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．

解答：解：過點(diǎn)O作OM⊥BC，連結(jié)AB、BE、OB．
∵EF∥AD，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，
∴FM=DM，BM=CM=2，
∴DM=2+1=3，即FM=3，BF=1．
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，即∠FBE+∠DBA=90°．
∵∠F=90°，即FBE+∠BEF=90°，
∴∠ABD=∠BEF．
又∵∠F=∠D，
∴△ADB∽△BFE，
∴

AD

BF

=

DB

EF

，即

3

1

=

5

EF

，解得FE=

5

3

．
∵OM是梯形的中位線，
∴OM=

1

2

（EF+AD）=

7

3

．
在Rt△OBM中OB²=OM²+BM²=（

7

3

）²+2²=

85

9

，解得OB=

2 85

3

，即⊙O的直徑為

2 85

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．