Question

13．如圖，平面直角坐標系中，已知點A（8，0）和點B（0，6），點C是AB的中點，點P在折線AOB上，直線CP截△AOB，所得的三角形與△AOB相似，那么點P的坐標是（0，3）、（4，0）、（$\frac{7}{4}$，0）．

Answer 1

分析 分類討論：當PC∥OA時，△BPC∽△BOA，易得P點坐標為（0，3）；當PC∥OB時，△ACP∽△ABO，易得P點坐標為（4，0）；當PC⊥AB時，如圖，由于∠CAP=∠OAB，則Rt△APC∽Rt△ABC，計算出AB、AC，則可利用比例式計算出AP，于是可得到OP的長，從而得到P點坐標．

解答 解：當PC∥OA時，△BPC∽△BOA，
由點C是AB的中點，可得P為OB的中點，
此時P點坐標為（0，3）；
當PC∥OB時，△ACP∽△ABO，
由點C是AB的中點，可得P為OA的中點，
此時P點坐標為（4，0）；
當PC⊥AB時，如圖，
∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{OA}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵點A（8，0）和點B（0，6），
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵點C是AB的中點，
∴AC=5，
∴$\frac{5}{8}$=$\frac{AP}{10}$，
∴AP=$\frac{25}{4}$，
∴OP=OA-AP=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
此時P點坐標為（$\frac{7}{4}$，0），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，3）、（4，0）、（$\frac{7}{4}$，0）．
故答案為：（0，3）、（4，0）、（$\frac{7}{4}$，0）

點評 本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．也考查了坐標與圖形性質(zhì)．注意分類討論思想解決此題．