Question

12．已知直線y=2x+m與拋物線y=ax²+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M（1，0），且a＜b．
（Ⅰ）求拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（Ⅱ）說(shuō)明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；
（Ⅲ）直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N．
（�。┤�-1≤a≤-$\frac{1}{2}$，求線段MN長(zhǎng)度的取值范圍；
（ⅱ）求△QMN面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）由直線解析式可先求得m的值，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y，可得到關(guān)于x的一元二次方程，再判斷其判別式大于0即可；
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理可求得MN²，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得MN長(zhǎng)度的取值范圍；（ii）設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線與點(diǎn)E，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用S_△QMN=S_△QEN+S_△QEM可用a表示出△QMN的面積，再整理成關(guān)于a的一元二次方程，利用判別式可得其面積的取值范圍，可求得答案．

解答 解：
（Ⅰ）∵拋物線y=ax²+ax+b過(guò)點(diǎn)M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax²+ax+b=ax²+ax-2a=a（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9a}{4}$，
∴拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9a}{4}$）；
（Ⅱ）∵直線y=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得ax²+（a-2）x-2a+2=0（*）
∴△=（a-2）²-4a（-2a+2）=9a²-12a+4，
由（Ⅰ）知b=-2a，且a＜b，
∴a＜0，b＞0，
∴△＞0，
∴方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；
（Ⅲ）聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得ax²+（a-2）x-2a+2=0，即x²+（1-$\frac{2}{a}$）x-2+$\frac{2}{a}$=0，
∴（x-1）[x-（$\frac{2}{a}$-2）]=0，解得x=1或x=$\frac{2}{a}$-2，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{a}$-2，$\frac{4}{a}$-6），
（i）由勾股定理可得MN²=[（$\frac{2}{a}$-2）-1]²+（$\frac{4}{a}$-6）²=$\frac{20}{{a}^{2}}$-$\frac{60}{a}$+45=20（$\frac{1}{a}$-$\frac{3}{2}$）²，
∵-1≤a≤-$\frac{1}{2}$，
∴-2≤$\frac{1}{a}$≤-1，
∴MN²隨$\frac{1}{a}$的增大而減小，
∴當(dāng)$\frac{1}{a}$=-2時(shí)，MN²有最大值245，則MN有最大值7$\sqrt{5}$，
當(dāng)$\frac{1}{a}$=-1時(shí)，MN²有最小值125，則MN有最小值5$\sqrt{5}$，
∴線段MN長(zhǎng)度的取值范圍為5$\sqrt{5}$≤MN≤7$\sqrt{5}$；
（ii）如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線與點(diǎn)E，

∵拋物線對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∴E（-$\frac{1}{2}$，-3），
∵M(jìn)（1，0），N（$\frac{2}{a}$-2，$\frac{4}{a}$-6），且a＜0，設(shè)△QMN的面積為S，
∴S=S_△QEN+S_△QEM=$\frac{1}{2}$|（$\frac{2}{a}$-2）-1|•|-$\frac{9a}{4}$-（-3）|=$\frac{27}{4}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{27a}{8}$，
∴27a²+（8S-54）a+24=0（*），
∵關(guān)于a的方程（*）有實(shí)數(shù)根，
∴△=（8S-54）²-4×27×24≥0，即（8S-54）²≥（36$\sqrt{2}$）²，
∵a＜0，
∴S=$\frac{27}{4}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{27a}{8}$＞$\frac{27}{4}$，
∴8S-54＞0，
∴8S-54≥36$\sqrt{2}$，即S≥$\frac{27}{4}$+$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)S=$\frac{27}{4}$+$\frac{9\sqrt{2}}{2}$時(shí)，由方程（*）可得a=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$滿足題意，
∴當(dāng)a=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$時(shí)，△QMN面積的最小值為$\frac{27}{4}$+$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)．在（1）中由M的坐標(biāo)得到b與a的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（2）中聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得N點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在最后一小題中用a表示出△QMN的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．