Question

3．已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1，設(shè)圖象與x軸交于點(diǎn)（x₁，0）、（x₂，0），若x₁²+x₂²=10，試求此函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 先利用拋物線對(duì)稱軸方程可求出b=-2，再根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到方程-x²-2x+c=0的兩根為x₁，x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-c，加上x(chóng)₁²+x₂²=10，通過(guò)消去x₁，x₂可求出c的值，從而得到拋物線解析式．

解答 解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2×（-1）}$=-1，
∴b=-2，
∴y=-x²-2x+c，
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)（x₁，0）、（x₂，0），
∴方程-x²-2x+c=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-c，
∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10，
∴（-2）²+2c=10，解得c=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．