Question

11．如圖，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，將線段PB繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)C，延長(zhǎng)CP到點(diǎn)D．使PD=AB．連接AD，試比較△PCB與△PAD的面積大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PC=PB，∠CPB=90°，則利用三角形面積公式得到S_△PCB=$\frac{1}{2}$PB•PC=$\frac{1}{2}$PB²，S_△PAD=$\frac{1}{2}$AP•PD，由于PD=AB，所以S_△PAD=$\frac{1}{2}$AP•AB，接著根據(jù)黃金分割的定義有PB²=AP•AB，所以S_△PCB=S_△PAD．

解答 解：△PCB與△PAD的面積相等．理由如下：
∵線段PB繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)C，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∵S_△PCB=$\frac{1}{2}$PB•PC=$\frac{1}{2}$PB²，S_△PAD=$\frac{1}{2}$AP•PD，
∵PD=AB，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$AP•AB，
∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，
∴PB：AB=AP：PB，
即PB²=AP•AB，
∴S_△PCB=S_△PAD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫作把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫作線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．