Question

6．【問(wèn)題提出】
如圖①，已知△ABC是等腰三角形，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED=EC，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF
試證明：AB=DB+AF
【類(lèi)比探究】
（1）如圖②，如果點(diǎn)E在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變，線(xiàn)段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由
（2）如果點(diǎn)E在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 首先判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF．
（1）首先判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠FCG=∠FEA，再根據(jù)∠FCG=∠EAD，∠D=∠EAD，可得∠D=∠FEA；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進(jìn)而判斷出AB=BD-AF即可．
（2）首先根據(jù)點(diǎn)E在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，然后判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判斷出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進(jìn)而判斷出AF=AB+BD即可．

解答 證明：ED=EC=CF，
∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=EC，∠CEF=60°，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠CAF=∠CBA=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，
∵∠CAF=∠CEF=60°，
∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EAF}\\{∠D=∠AEF}\\{ED=EF}\end{array}\right.$（AAS）
∴△EDB≌△FEA，
∴DB=AE，BE=AF，
∵AB=AE+BE，
∴AB=DB+AF．

（1）AB=BD-AF；
延長(zhǎng)EF、CA交于點(diǎn)G，

∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEA，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得
∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°，
在△EDB和△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EAF}\\{∠D=∠AEF}\\{ED=EF}\end{array}\right.$（AAS）
∴△EDB≌△FEA，
∴BD=AE，EB=AF，
∴BD=FA+AB，
即AB=BD-AF．

（2）如圖③，，
ED=EC=CF，
∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠CBE=∠CAF，
∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC
=180°-60°-60°
=60°
∴∠DBE=∠EAF；
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EAF}\\{∠BDE=∠AEF}\\{ED=EF}\end{array}\right.$（AAS）
∴△EDB≌△FEA，
∴BD=AE，EB=AF，
∵BE=AB+AE，
∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系是：
AF=AB+BD．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．