Question

16．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，AE為⊙O的切線，過點B作BD⊥AE于D．
（1）求證：∠DBA=∠ABC；
（2）如果BD=1，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OA，由AE為⊙O的切線，BD⊥AE得到∠DAO=∠EDB=90°，于是得到DB∥AO，推出∠DBA=∠BAO，由于OA=OB，得到∠ABC=∠BAO，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的知識可求出AD，從而根據(jù)勾股定理求出AB的長，根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出⊙O的半徑．

解答 （1）證明：如圖，連接OA，
∵AE為⊙O的切線，BD⊥AE，
∴∠DAO=∠EDB=90°，
∴DB∥AO，
∴∠DBA=∠BAO，
又∵OA=OB，
∴∠ABC=∠BAO，
∴∠DBA=∠ABC；

（2）解：∵BD=1，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠DBA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∵∠DBA=∠CBA，
∴BC=$\frac{AB}{cos∠CBA}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=5．
∴⊙O的半徑為2.5．

點評 本題考查了切線的判定．已知某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），可得垂直，同時考查了三角函數(shù)的知識．