Question

8．如圖，直線AB分別與x軸、y軸交于點A、點B，tan∠OAB=$\frac{1}{2}$，且OB的長是關(guān)于x的方程$\frac{x-2}{x}$=$\frac{3}{x+2}$的根，P為線段AB上一點．請解答下列問題：
（1）求直線AB的解析式；
（2）若$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{3}$，求過點P的反比例函數(shù)的解析式；
（3）在x軸是否存在點Q，使得A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求得方程的根，求得OB的長，再求得OA的長，可得出A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）過P作PC⊥x軸于點C，利用平行線分線段成比例可求得PC的長，可得出P點縱坐標(biāo)，再代入直線AB的解析式可求得P點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)解析式；
（3）設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，0），可分別表示出AP、AQ和PQ的長，分AQ=AP、AQ=PQ和PQ=AP三種情況可分別求出點Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程$\frac{x-2}{x}$=$\frac{3}{x+2}$可得x=-1（舍去）或x=4，
∴OB=4，
又∵tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{4}{OA}$=$\frac{1}{2}$，解得OA=8，
∴A（8，0），B（0，4），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A、B坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（2）過P作PC⊥x軸于點C，如圖，

∵$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{3}$，且OC+OA=8，
∴OC=2，
∴P點橫坐標(biāo)為2，
又∵P點在直線AB上，
∴P點縱坐標(biāo)y=-$\frac{1}{2}$×2+4=3，
∴P點坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)過P點的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{m}{x}$，
把P點坐標(biāo)代入可求得m=6，
∴過P點的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點Q，其坐標(biāo)為（x，0），
由（2）可知P（2，3），且A（8，0），
∴AQ=|x-8|，AP=$\sqrt{（8-2）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，PQ=$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+9}$，
當(dāng)△APQ為等腰三角形時，則有三種情況：
①當(dāng)AQ=AP時，即|x-8|=3$\sqrt{5}$，解得x=8+3$\sqrt{5}$或x=8-3$\sqrt{5}$，此時Q點坐標(biāo)為（8+3$\sqrt{5}$，0）或（8-3$\sqrt{5}$，0）；
②當(dāng)AQ=PQ時，即|x-8|=$\sqrt{（x-2）^{2}+9}$，解得x=$\frac{17}{4}$，此時Q點坐標(biāo)為（$\frac{17}{4}$，0）；
③當(dāng)PQ=AP時，即=$\sqrt{（x-2）^{2}+9}$=3$\sqrt{5}$，解得x=8（與A點重合不能構(gòu)成三角形，舍去）或x=-4，此時Q點坐標(biāo)為（-4，0）；
綜上可知存在滿足條件的Q點，其坐標(biāo)為（8+3$\sqrt{5}$，0）或（8-3$\sqrt{5}$，0）或（$\frac{17}{4}$，0）或（-4，0）．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有待定系數(shù)法、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例、分式方程和等腰三角形的性質(zhì)等．在（1）中求得A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得P點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意利用（1）中所求直線AB的解析式，在（3）中注意分三種情況討論．本題考查內(nèi)容比較基礎(chǔ)，難度不大．