Question

（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F

（1）求OA、OC的長；

（2）求證：DF為⊙O′的切線；

（3）直線BC上存不存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，如果不存在，說明理由；如果存在，直接寫出P點的坐標．

 

Answer 1

（1）OC=3， OA=5；（2）證明見試題解析；（3）存在， P1（1，3） P4（9，3） P2（4，3），P3（4，3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形面積公式得方程求解；

（2）由E是BC中點，OC=AB，∠C=∠B可證△ABE≌△OCE，則OE=AE得證；

（3）連接O′D，證∠O′DF=90°．

（4）分別以∠AOP、∠OAP為頂角討論P點位置求解．

試題解析：（1）設OC=x，則OA=x+2，根據(jù)題意得：x（x+2）=15．解得x=3，即OC=3．則OA=5．

（2）∵E為BC的中點，∴CE=BE．又OC=AB，∠OCE=∠B=90°，∴△ABE≌△OCE，∴OE=AE．

（3）連接O′D．

∵OE=AE，O′O=O′D，∴∠EOD=∠EAO=∠O′DO．

∵DF⊥AE，∴∠EAO+∠ADF=90°．∴∠O′DO+∠ADF=90°．∴∠O′DF=90°，DF是⊙O′的切線；

（4）存在．如圖所示．

①當AP=AO時，BP=4，則CP=1或9，所以P（1，3）或（9，3）；

②當OP=OA時，CP=4，所以P（4，3）或（－4，3）．

考點：1．切線的判定；2．矩形的性質．