Question

如圖，已知拋物線（b，c是常數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為（－1，0）．

（1）b= ，點B的橫坐標為 （上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；

（2）連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，其坐標為（2，0），當C，D，E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB，PC，設所得△PBC的面積為S．

①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有 個．

Answer 1

（1） +c，-2c；（2） y=x2-x-2；;（3） +c，-2c；11．

【解析】

試題分析：（1）將A（-1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得出-1•xB=，即xB=-2c；

（2）由y=x2+bx+c，求出此拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，c），則可設直線BC的解析式為y=kx+c，將B點坐標代入，運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+c；由AE∥BC，設直線AE得到解析式為y=x+m，將點A的坐標代入，運用待定系數(shù)法求出直線AE得到解析式為y=x+；解方程組，求出點E坐標為（1-2c，1-c），將點E坐標代入直線CD的解析式y(tǒng)=-x+c，求出c=-2，進而得到拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（3）①分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當-1＜x＜0時，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）當0＜x＜4時，過點P作PG⊥x軸于點G，交CB于點F．設點P坐標為（x，x2-x-2），則點F坐標為（x，x-2），PF=PG-GF=-x2+2x，S=PF•OB=-x2+4x=-（x-2）2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大值=4，即0＜S≤4．則0＜S＜5；

②由0＜S＜5，S為整數(shù)，得出S=1，2，3，4．分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當-1＜x＜0時，根據(jù)△PBC中BC邊上的高h小于△ABC中BC邊上的高AC=，得出滿足條件的△PBC共有4個；（Ⅱ）當0＜x＜4時，由于S=-x2+4x，根據(jù)一元二次方程根的判別式，得出滿足條件的△PBC共有7個；則滿足條件的△PBC共有4+7=11個．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c過點A（-1，0），

∴0=×（-1）2+b×（-1）+c，

∴b=+c，

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點A（-1，0）、B（xB，0）（點A位于點B的左側(cè)），

∴-1與xB是一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根，

∴-1•xB=，

∴xB=-2c，即點B的橫坐標為-2c；

（2）∵拋物線y=x2+bx+c與y軸的負半軸交于點C，

∴當x=0時，y=c，即點C坐標為（0，c）．

設直線BC的解析式為y=kx+c，

∵B（-2c，0），

∴-2kc+c=0，

∵c≠0，

∴k=，

∴直線BC的解析式為y=x+c．

∵AE∥BC，

∴可設直線AE得到解析式為y=x+m，

∵點A的坐標為（-1，0），

∴×（-1）+m=0，解得m=，

∴直線AE得到解析式為y=x+．

由，解得，，

∴點E坐標為（1-2c，1-c）．

∵點C坐標為（0，c），點D坐標為（2，0），

∴直線CD的解析式為y=-x+c．

∵C，D，E三點在同一直線上，

∴1-c=-×（1-2c）+c，

∴2c2+3c-2=0，

∴c1=（與c＜0矛盾，舍去），c2=-2，

∴b=+c=-，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（3）①設點P坐標為（x，x2-x-2）．

∵點A的坐標為（-1，0），點B坐標為（4，0），點C坐標為（0，-2），

∴AB=5，OC=2，直線BC的解析式為y=x-2．

分兩種情況：

（Ⅰ）當-1＜x＜0時，0＜S＜S△ACB．

∵S△ACB=AB•OC=5，

∴0＜S＜5；

（Ⅱ）當0＜x＜4時，過點P作PG⊥x軸于點G，交CB于點F．

∴點F坐標為（x，x-2），

∴PF=PG-GF=-（x2-x-2）+（x-2）=-x2+2x，

∴S=S△PFC+S△PFB=PF•OB=（-x2+2x）×4=-x2+4x=-（x-2）2+4，

∴當x=2時，S最大值=4，

∴0＜S≤4．

綜上可知0＜S＜5；

②∵0＜S＜5，S為整數(shù)，

∴S=1，2，3，4．

分兩種情況：

（Ⅰ）當-1＜x＜0時，設△PBC中BC邊上的高為h．

∵點A的坐標為（-1，0），點B坐標為（4，0），點C坐標為（0，-2），

∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，

∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC邊上的高AC=．

∵S=BC•h，

∴h=S．

如果S=1，那么h=×1=＜，此時P點有1個，△PBC有1個；

如果S=2，那么h=×2=＜，此時P點有1個，△PBC有1個；

如果S=3，那么h=×3=＜，此時P點有1個，△PBC有1個；

如果S=4，那么h=×4=＜，此時P點有1個，△PBC有1個；

即當-1＜x＜0時，滿足條件的△PBC共有4個；

（Ⅱ）當0＜x＜4時，S=-x2+4x．

如果S=1，那么-x2+4x=1，即x2-4x+1=0，

∵△=16-4=12＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時P點有2個，△PBC有2個；

如果S=2，那么-x2+4x=2，即x2-4x+2=0，

∵△=16-8=8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時P點有2個，△PBC有2個；

如果S=3，那么-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，

∵△=16-12=4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時P點有2個，△PBC有2個；

如果S=4，那么-x2+4x=4，即x2-4x+4=0，

∵△=16-16=0，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，此時P點有1個，△PBC有1個；

即當0＜x＜4時，滿足條件的△PBC共有7個；

綜上可知，滿足條件的△PBC共有4+7=11個．

考點：二次函數(shù)綜合題．