Question

2．已知拋物線y=ax²+bx+c開口向上且經(jīng)過點（1，1），雙曲線y=$\frac{1}{2x}$經(jīng)過點（a，bc），給出下列結(jié)論：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是關(guān)于x的一元二次方程x²+（a-1）x+$\frac{1}{2a}$=0的兩個實數(shù)根；④a-b-c≥3．其中正確結(jié)論是①③④（填寫序號）

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c開口向上且經(jīng)過點（1，1），雙曲線y=$\frac{1}{2x}$經(jīng)過點（a，bc），可以得到a＞0，a、b、c的關(guān)系，然后對a、b、c進行討論，從而可以判斷①②③④是否正確，本題得以解決．

解答 解：∵拋物線y=ax²+bx+c開口向上且經(jīng)過點（1，1），雙曲線y=$\frac{1}{2x}$經(jīng)過點（a，bc），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+b+c=1}\\{bc=\frac{1}{2a}}\end{array}\right.$
∴bc＞0，故①正確；
∴x²+（a-1）x+$\frac{1}{2a}$=0可以轉(zhuǎn)化為：x²-（b+c）x+bc=0，得x=b或x=c，故③正確；
∵b，c是關(guān)于x的一元二次方程x²+（a-1）x+$\frac{1}{2a}$=0的兩個實數(shù)根，
∴△=（a-1）²-4×1×$\frac{1}{2a}$≥0，
化簡，得（a-2）（a²+1）≥0，
∵a²+1≥1，
∴a-2≥0，
∴a≥2，
故a≥2，即2a-1≥3，故④正確；
∵a≥2且a+b+c=1，
∴b+c＜0，故②錯誤；
故答案為：①③④．

點評 本題考查二次函數(shù)與圖象的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．