Question

13．定義：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“垂直四邊形”．
（1）理解：如圖1，已知四邊形ABCD是“垂直四邊形”，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC=8，BD=7，求四邊形ABCD的面積．
（2）探究：小明對(duì)“垂直四邊形”ABCD（如圖1）進(jìn)行了深入探究，發(fā)現(xiàn)其一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和．即AB²+CD²=AD²+BC²．你認(rèn)為他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？試說(shuō)明理由．
（3）應(yīng)用：
①如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒6個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜1），連結(jié)CP，BQ，PQ．當(dāng)四邊形BCQP是“垂直四邊形”時(shí)，求t的值．
②如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)EG．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EG與BC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由于對(duì)角線互相垂直，所以四邊形ABCD的面積可化為$\frac{1}{2}AO•BD$+$\frac{1}{2}CO•BD$的和；
（2）由于對(duì)角線互相垂直，由勾股定理分別表示出AB²、CD²、AD²、BC²；
（3）①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，構(gòu)造△PAD∽△BAC后，利用BP²+CQ²=PQ²+BC²列出關(guān)于t的方程；
②連接BE、CG、BG、CE，證明四邊形BCGE是垂直四邊形，然后利用其性質(zhì)“一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和”，即可得出EG與BC的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是“垂直四邊形”，
∴AC⊥BD，
∴△ABD的面積為：$\frac{1}{2}AO•BD$，
△CBD的面積為：$\frac{1}{2}CO•BD$，
∴四邊形ABCD的面積：$\frac{1}{2}AO•BD$+$\frac{1}{2}CO•BD$
=$\frac{1}{2}$BD（AO+CO）
=$\frac{1}{2}$AC•BD
=$\frac{1}{2}$×8×7
=28；

（2）∵四邊形ABCD是“垂直四邊形”，
∴AC⊥BD．
由勾股定理可知：
AB²+CD²=（AO²+BO²）+（DO²+CO²），
AD²+BC²=（AO²+DO²）+（BO²+CO²），
∴AB²+CD²=AD²+BC²；

（3）①如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，
由題意知：AP=5t，CQ=6t，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10
∵PD∥BC．
∴△PAD∽△BAC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{AD}{6}$=$\frac{PD}{8}$=$\frac{5t}{10}$，
∴AD=3t，PD=4t，
∴DQ=AC-AD-CQ=6-9t，
∵四邊形BCQP是“垂直四邊形”．
∴BP²+CQ²=PQ²+BC²，
∴（10-5t）²+（6t）²=（4t）²+（6-9t）²+8²，
∴解得t=$\frac{2}{9}$或t=0（舍去），
∴當(dāng)四邊形BCQP是“垂直四邊形”時(shí)，t的值為$\frac{2}{9}$；
②如圖3，連接CG、BG、BE、CE，
CE與BG交于點(diǎn)O
由題意知：EA=BA，AC=AG
∠EAB=∠CAG=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC
∴∠EAC=∠BAG
在△EAC與△BAG中
$\left\{\begin{array}{l}{EA=BA}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAG（SAS）
∴∠CEA=∠GBA
∴∠EAB=∠BOE=90°
∴四邊形BCGE是“垂直四邊形”
∴BC²+EG²=BE²+CG²，
∵AB=3AC，
∴EG²=$\frac{3}{2}$BC²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，涉及到勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)內(nèi)容，題目較新穎和綜合，需要學(xué)生將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)．