Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)D′的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BD，問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠DBP=45°？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將A，C點(diǎn)代入即可求得a、b的值，即可解題；
（2）將點(diǎn)D代入拋物線中即可求得m的值，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求得∠DCB=∠ABC=45°=∠BCO，可得點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'落在OC上，即可解題；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P使得∠DBP=45°交y軸于點(diǎn)F，作D關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接DD'交BC于點(diǎn)E，連接BD，AC，BF，易求BE=的長(zhǎng)度，易證∠DBE=∠ABF，即可證明△FOB∽△DEB，可得

FO

DE

=

OB

BE

，即可求得點(diǎn)F坐標(biāo)，即可求得直線BF解析式，即可求得直線BF與拋物線交點(diǎn)，即可解題．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，
∴代入A，C點(diǎn)坐標(biāo)得：

a-b-3a=0 -3a=3

，
解得：a=-1，b=2，
∴y=-x²+2x+3；
（2）將D點(diǎn)代入拋物線解析式得：m+1=-m²+2m+3，
解得：m₁=2，m₂=-1（不符合題意，舍去）
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（2，3）；
∴AB∥DC，
∴∠DCB=∠ABC=45°=∠BCO，
∴點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'落在OC上，
∴CD=CD'=2，
∴D'坐標(biāo)（0，1）；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P使得∠DBP=45°交y軸于點(diǎn)F，
作D關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接DD'交BC于點(diǎn)E，連接BD，AC，BF，

∵-x²+2x+3=0時(shí)，x=-1或3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（3，0），
∴BC=3

2

，
∵CD=2，CD'=2，
∴DD'=2

2

，CE=

2

，BE=BC-CE=2

2

，
∵∠CBO=∠DBF=45°，
∴∠DBE=∠ABF，
∵∠DBP=∠ABC=45°，∠DBE=∠ABF，∠DEB=∠FOB=90°，
∴△FOB∽△DEB，
∴

FO

DE

=

OB

BE

，即

FO

2

=

3

2 2

，
∴FO=

3

2

，
∴F（0，

3

2

），
∵B（3，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，代入B，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)得：
直線BF解析式為y=-

1

2

x+

3

2

，
設(shè)直線BF與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則

y=-x2+2x+3 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得：

x1=- 1 2 y1= 1 4

，

x2=3 y2=0

（不符合題意，舍去），
∴存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的求解，考查了拋物線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，考查了直線解析式的求解，考查了相似三角形的判定和相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題屬于綜合題，有一定難度．