Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，AB=

5

，AC=2

5

．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）設(shè)點P是拋物線在第一象限部分上的點，△PAC的面積為S，求使S最大時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理可求BC，由同角的余角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，得到三角形AOB與三角形CAB相似，由相似得比例，求出OB的長，即可確定出B坐標(biāo)，進一步得到A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）由B與C坐標(biāo)設(shè)出拋物線的交點式，將A坐標(biāo)代入求出a的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；
（3）連接AP，CP，過P作PQ垂直于x軸，設(shè)點P（m，n），將x=m代入拋物線解析式表示出P的縱坐標(biāo)，即為PQ的長，三角形APC面積=梯形APQO面積+三角形PQC面積-三角形AOC面積，列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大時m的值，即可確定出此時P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

5

，AC=2

5

，
則BC=

AB2+AC2

=5，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠ACB，
又∵∠B=∠B，
∴△AOB∽△CAB，
∴

AB

CB

=

OB

AB

，即

5

5

=

OB

5

，解得OB=1，
∴OC=5-1=4，
在Rt△AOB中，AB=

5

，OB=1，
則OA=

AB2-OB2

=2，
∴A（0，2），B（-1，0），C（4，0）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
將A（0，2）代入得：2=-4a，即a=-

1

2

，
則過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，對稱軸為直線x=

3

2

；

（3）連接AP，CP，過P作PQ⊥x軸，交x軸于點Q，
設(shè)點P（m，n），將x=m代入拋物線解析式得：n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，
∵OA=2，OC=4，OQ=m，PQ=-

1

2

m²+

3

2

m+4，QC=4-m，
∴S=S_△APC=S_梯形APQO+S_△PQC-S_△AOC
=

1

2

×m×（2-

1

2

m²+

3

2

m+4）+

1

2

×（4-m）×（-

1

2

m²+

3

2

m+4）-

1

2

×2×4
=-m²+4m+4
=-（m-2）²+8，
∵S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式中二次項系數(shù)為-1＜0，即拋物線開口向下，
∴當(dāng)m=2時，S最大值為8，此時P（2，3）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．