Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)M，對稱軸MN與x軸相交于點(diǎn)N，連接AC．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求∠CAO的大��；
（3）拋物線的對稱軸MN上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求得x的值即可求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求得點(diǎn)C的坐標(biāo)后即可得到AO=CO，從而得到∠CAO的度數(shù)；
（3）首先求得直線AC的解析式，然后設(shè)垂直于AC的解析式為y=-x+b，然后分當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C與AC垂直和經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于AC兩種情況求得結(jié)果即可．

解答 解：（1）令y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得：x=-2或x=4，
故A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）；

（2）∵令x=0，則y=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∴AO=CO=2，
∴∠CAO=45°；

（3）∵拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{9}{4}$，
∴對稱軸為x=1，
∵A（-2，0），C（0，2），
∴直線AC的解析式為y=x+2，
當(dāng)直角△ACP的直角邊PC經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，
設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b，
∵經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），
∴直線PC的解析式為y=-x+2，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+2=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；
當(dāng)直角△ACP的直角邊PA經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
設(shè)直線PA的解析式為y=-x+b，
∵經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），
∴直線AP的解析式為y=-x-2，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-1-2=-3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-3）；
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）和（1，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，重點(diǎn)考查了與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及待定系數(shù)法的知識(shí)，特別是第（3）題中的分類討論數(shù)學(xué)思想更是中考的熱點(diǎn)考題之一，難度中等．