Question

16．如圖，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求△PBQ的面積；
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，△PBQ的面積是8cm²？
（3）當(dāng)t為多少時(shí)，△PBQ與△ABC是相似三角形？

Answer 1

分析 （1）用含t的代數(shù)式表示線段BP和BQ，代入t=2求得BP、BQ，利用三角形的面積計(jì)算公式求得答案；
（2）由（1）得到BP=6-x，BQ=2x，根據(jù)三角形的面積公式得出方程解答即可；
（3）要使△PBQ與△ABC相似，根據(jù)兩邊成比例并且?jiàn)A角相等的兩三角形相似得到第一種情況$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$和$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{AB}$代入求出即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，
∴AP=t，BQ=2t，
∴BP=AB-AP=6-t；
當(dāng)t=2時(shí)，BQ=4，BP=4，
△PBQ的面積=$\frac{1}{2}$×4×4=8；

（2）由題意得$\frac{1}{2}$BP×BQ=8，
即$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=8，
∴t₁=2，t₂=4，
答：當(dāng)t為2或4秒，使△PBQ的面積為8cm²．

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一種情況：當(dāng)$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$時(shí)，△PBQ與△ABC相似，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，
解得：t=3，
第二種情況：當(dāng)$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{AB}$代時(shí)，△PBQ與△ABC相似，
即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，
解得：t=1.2．
答：當(dāng)t為3或1.2秒鐘，使△PBQ與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．