Question

7．（1）如圖所示，已知∠AOB=90°，按以下要求畫圖：以O(shè)為頂點(diǎn)，OB為一邊作∠BOC=30°，再作射線OM平分∠AOC、ON平分∠BOC．
（2）求你所畫出的圖中的∠MON的度數(shù)；
（3）若（1）中的∠AOB=α，∠BOC=β，直接寫出∠MON的度數(shù)（用關(guān)于α和β的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫圖即可；
（2）根據(jù)角平分線的以求出∠MOC與∠NOC的度數(shù)，然后相加減即可求出∠MON的度數(shù)；
（3）根據(jù)兩題的求解思路把具體數(shù)據(jù)換為α、β，然后整理即可得出規(guī)律．

解答 解：（1）當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)如圖1，當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí)如圖2；

（2）①∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$AOC，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠MON=∠COM+∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，

②∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°；

（3）①∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α-β，
∵OM、ON分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α-β），
∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$（α-β）+$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α，
即∠MON=$\frac{1}{2}$α；
②∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β，
∵OM、ON分別平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠MOC-∠CON=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α，
即∠MON=$\frac{1}{2}$α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，讀懂題意，看懂題目圖形找準(zhǔn)解題思路是解題的關(guān)鍵，此類題目通常都是各小題都用同一個(gè)解題思路，所以準(zhǔn)確確定思路比較關(guān)鍵．