Question

15．如圖，在?ABCD中，點P是AB邊上一點（不與A，B重合），CP=CD，過點P作PQ⊥CP，交AD邊于點Q，連結(jié)CQ．
（1）若∠BPC=∠AQP，求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）在（1）的條件下，當AP=2，AD=6時，求AQ的長．

Answer 1

分析 （1）證出∠A=90°即可；
（2）由HL證明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，設AQ=x，則DQ=PQ=6-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，
又∠BPC=∠AQP，
∴∠CPQ=∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A=∠CPQ=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，$\left\{\begin{array}{l}{CQ=CQ}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ=PQ，
設AQ=x，則DQ=PQ=6-x
在Rt△APQ中，AQ²+AP²=PQ²
∴x²+2²=（6-x）²，
解得：x=$\frac{8}{3}$
∴AQ的長是$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形是矩形是解決問題的關(guān)鍵．