Question

求自然數(shù)對（a，b），同時滿足條件：
（1）0＜a-

2

b＜1；（2）15O＜（a+

2

b）³＜200．

Answer 1

考點：有理數(shù)無理數(shù)的概念與運算

專題：

分析：根據(jù)a-

2

b＜1，則a-1＜

2

b，2a-1＜a+

2

b，又（a+

2

b）³＜200，即可得到（2a-1）³＜200＜6³，據(jù)此即可得到關于a的不等式求得a的值，然后利用排除法即可求解．

解答：解：∵a-

2

b＜1，
∴a-1＜

2

b，2a-1＜a+

2

b，
又∵（a+

2

b）³＜200，
∴（2a-1）³＜200，而200＜216＜6³，
∴2a-1＜6，則a＜

7

2

，
∵a是自然數(shù)，
∴a的值可能是1，2，3．
由已知a-

2

b＞0，a＞

2

b，且b是自然數(shù)，最小是1，
∴a≠1，
若a=2，由2＞

2

b，可知b只可能為1，此時
（2+

2

）³＜4³=64＜150，與條件（2）相矛盾；
若a=3，由a-1＜

2

b＜a，知2＜

2

b＜3，
∴b=2．則0＜3-2

2

＜1，滿足（1），
此時，（a+

2

b）³=（3+2

2

）³=3³+3×3²×2

2

+3×3×（2

2

）²+（2

2

）³=99+70

2

，
設70

2

=m，則m²=9800．
∴98²＜m²＜99²=9801，
∴150＜197＜（3+2

2

）3＜198＜200，滿足條件（2）．
則所求的自然數(shù)數(shù)對是（3，2）．

點評：本題考查了有理數(shù)和無理數(shù)的運算，正確對式子進行變化求得a的可能值是關鍵．