Question

3．定義一種新的運(yùn)算方式：${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$（其中n≥2，且n是正整數(shù)），例如${C}_{3}^{2}$=$\frac{3（3-1）}{2}=3$，${C}_{5}^{2}$=$\frac{5（5-1）}{2}=10$．
（1）計(jì)算${C}_{10}^{2}$；
（2）若${C}_{n}^{2}$=190，求n；
（3）記${C}_{n}^{2}$=y，求y≤153時(shí)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義式${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，代入n=10即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)新定義式${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$結(jié)合${C}_{n}^{2}$=190，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n值，再根據(jù)n≥2且n是正整數(shù)，即可確定n值；
（3）根據(jù)新定義式${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$結(jié)合${C}_{n}^{2}$≤153，即可得出關(guān)于n的一元二次不等式，解之即可得出n的取值范圍，再根據(jù)n≥2且n是正整數(shù)，即可確定n的取值范圍．

解答 解：（1）${C}_{10}^{2}$=$\frac{10×（10-1）}{2}$=45；
（2）∵${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$=190，
∴n²-n-380=（n+19）（n-20）=0，
解得：n=20或n=-19，
∵n≥2，且n是正整數(shù)，
∴n=20．
（3）∵${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$=y，y≤153，
∴n²-n-306=（n+17）（n-18）≤0，
解得：-17≤n≤18，
∵n≥2，且n是正整數(shù)，
∴2≤n≤18，且n是正整數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、因式分解法解一元二次方程及不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)定義式，代入數(shù)據(jù)求值；（2）根據(jù)定義式，找出關(guān)于n的一元二次方程；（3）根據(jù)定義式，找出關(guān)于n的一元二次不等式．