Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=5，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求FA的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OD、BD，證明∠ODE=90°問(wèn)題即可解決．
（2）連接OE，根據(jù)勾股定理和射影定理求出AD、OE的長(zhǎng)度；證明△ADF∽△OEF，列出關(guān)于線段AF的方程，解方程即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖，連接OD，BD；
∵AB為⊙O，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴EB=ED，∠EDB=∠EBD；
又∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE是⊙O的切線．
（2）如圖，連接OE；
由勾股定理：AC²=4²+5²=41，
∴AC=

41

；
由射影定理得：AB²=AD•AC，
∴AD=

16

41

；
由題意得：AO=BO=2，BE=

5

2

，
根據(jù)勾股定理：OE2=22+2．52=

41

4

，
∴OE=

41

2

；
∵AO=BO，CE=BE，
∴AD∥OE，
∴△ADF∽△OEF，
∴

AD

OE

=

AF

AF+OA

，
將AD=

16

41

，OE=

41

2

，AO=2代入上式并解得：AF=

64

9

．

點(diǎn)評(píng)：該命題主要考查了切線的判定、勾股定理、平行線的判定、相似三角形的判定及其應(yīng)用等重要幾何知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、解答．