Question

3．長沙某公司聲場的防輻射圍裙每件成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量m（件）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如表：

時(shí)間t（天）	1	3	6	10	34	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	28	…

未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格y₁（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系是為y₁=$\frac{1}{4}$t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格為30元/件（21≤t≤40且t為整數(shù)），下面我們就來研究銷售這種防輻射圍裙的有關(guān)問題：
（1）認(rèn)真分析表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的m（件）與t（天）之間的關(guān)系式；
（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實(shí)際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件防輻射圍裙就捐贈(zèng)a元利潤（a＜4）給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格中的中的數(shù)據(jù)可以判斷出m與t的函數(shù)關(guān)系式，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)題意可以分別求出前20天和后20天的最大利潤，然后比較即可解答本題；
（3）根據(jù)題意可以求得前20天的實(shí)際利潤，由二次函數(shù)的性質(zhì)可以解答本題．

解答 解：（1）由表格可知，m（件）與t（天）之間的關(guān)系式符合一次函數(shù)解析式，
設(shè)m（件）與t（天）之間的關(guān)系式是m=kt+b，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=94}\\{3k+b=90}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$，
∴m（件）與t（天）之間的關(guān)系式是m=-2t+96；
（2）設(shè)前20天的銷售利潤為w₁，
w₁=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20）=$-\frac{1}{2}（t-14）^{2}+578$，
∴當(dāng)t=14時(shí)，w₁取得最大值，此時(shí)w₁=578元；
設(shè)后20天的銷售利潤為w₂，
w₂=（-2t+96）（30-20）=-20t+960，
∵-20＜0，w₂隨t的增大而減小，21≤t≤40，
∴當(dāng)t=21時(shí)，w₂取得最大值，此時(shí)w₂=-20×21+960=540；
∵578＞540，
∴未來40天中第14天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是578元；
（3）由題意可得，
w₁=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20-a）=$-\frac{1}{2}{t}^{2}+（14+2a）t+480-96a$，
對(duì)稱軸為t=$-\frac{14+2a}{2×（-\frac{1}{2}）}=14+2a$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)t≤14+2a時(shí)，w₁隨t的增大而增大，
∵前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間t（天）的增大而增大，
∴19.5＜14+2a，
解得，a＞2.75，
又∵a＜4，
∴2.75＜a＜4，
即a的取值范圍2.75＜a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，會(huì)求函數(shù)的最值．