Question

11．如圖Rt△ABC的外接圓⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的平分線交⊙O于D．
（1）AC=6cm，BC=8cm，求⊙O的半徑R和AD、BD的長．
（2）若點C在⊙O移動（但不與A、B重合），試探究$\frac{AC+BC}{CD}$的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值．若變化，說明理由．（若I為△ABC內心，IG⊥AB，試求$\frac{AB+2IG}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）先根據勾股定理求出斜邊AB=10，由90°的圓周角所對的弦是直徑得：AB是⊙O的直徑，所以可求得半徑的長，再利用角平分線得圓周角相等：∠ACD=∠BCD，則△ADB是等腰直角三角形，由此可求得AD和BD的長；
（2）如圖1，作輔助線，構建全等三角形，先證明△ACE和△BCF是等腰直角三角形，則AC=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$EC，BC=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$FC，再證明△AED≌△DFB，得DE=BF，代入所求的式子$\frac{AC+BC}{CD}$計算即可；
如圖2，先根據直角三角形內切圓的半徑公式得：IG=$\frac{AC+BC-AB}{2}$，變形后再把圖1的結論代入可求得結論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直徑，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴⊙O的半徑R為5cm，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
設AD=xcm，
由勾股定理得：AB²=AD²+BD²，
則2x²=10²，
x=±5$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=5$\sqrt{2}$cm；
（2）如圖1，過A作AE⊥CD于E，過B作BF⊥CD于F，
∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ACE和△BCF是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$EC，
BC=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$FC，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC+∠EAD=90°，
∴∠BDC=∠EAD，
∵AD=BD，∠AED=∠BFD=90°，
∴△AED≌△DFB，
∴DE=BF，
∴AE=EC=DF，
∴AC=$\sqrt{2}$CE，BC=$\sqrt{2}$DE，
∴$\frac{AC+BC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}CE+\sqrt{2}DE}{CD}$=$\sqrt{2}$；
∴當點C在⊙O移動（但不與A、B重合），$\frac{AC+BC}{CD}$的值不發(fā)生變化，等于$\sqrt{2}$；
如圖2，I為△ABC內心，IG⊥AB，
∴IG是△ABC內切圓的半徑，
則IG=$\frac{AC+BC-AB}{2}$，
AB+2IG=AC+BC，
由圖1得：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\frac{AB+2IG}{CD}$=$\frac{AC+BC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}CD}{CD}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直角三角形的外接圓和內切圓的性質，明確：①90°的圓周角所對的弦是直徑，②在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等，③直角三角形內切圓的半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b分別是直角三角形的兩條直角邊，c是斜邊）；同時構建全等三角形，利用全等三角形的對應邊相等及等腰直角三角形邊的倍數關系代入所求的線段的比中，得出結論．