Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)DC⊥BE于點(diǎn)E，BC平分∠ABE，連接AC．
（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若⊙O的半徑為2，∠A=60°，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖，作輔助線(xiàn)；證明∠OCB=∠CBE，得到OC∥BE；由BE⊥DE，得到OC⊥DE，即可解決問(wèn)題．
（2）求出AC=2，BC=2

3

；證明∠ACB=∠BEC，∠ABC=∠CBE，得到△ABC∽△CBE，進(jìn)而得到

AB

BC

=

AC

CE

，求出CE=

3

．

解答：解：（1）如圖，連接OC；
∵BC平分∠ABE，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OBC=∠CBE，
∴∠OCB=∠CBE，
∴OC∥BE；而B(niǎo)E⊥DE，
∴OC⊥DE，
即DE是⊙O的切線(xiàn)．
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，而∠A=60°，
∴∠ABC=30°，AC=

1

2

AB=2，
BC=

3

2

×4=2

3

；
∵∠ACB=∠BEC，∠ABC=∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
∴

AB

BC

=

AC

CE

，CE=

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了圓的切線(xiàn)的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，靈活運(yùn)用切線(xiàn)的判定及其質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答．