Question

12．如圖，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（n，2）是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m＜0）圖象的兩個交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求m、n的值及一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x滿足條件：-4＜x＜-1時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值．
（3）P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象過點(diǎn)（-4，$\frac{1}{2}$），求得m=-2，由于點(diǎn)B（n，2）也在該反比例函數(shù)的圖象上，得到n=-1，設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，解方程組即可得到一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象即可得到結(jié)論；
（3）連接PC、PD，如圖，設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），根據(jù)△PCA和△PDB面積相等得到方程組，即可得到結(jié)論；

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象過點(diǎn)（-4，$\frac{1}{2}$），∴m=-4×$\frac{1}{2}$=-2，
∵點(diǎn)B（n，2）也在該反比例函數(shù)的圖象上，∴2n=m=-2，∴n=-1，
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，
由y=kx+b的圖象過點(diǎn)（-4，$\frac{1}{2}$），（-1，2），則
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$     一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，

（2）根據(jù)圖象知-4＜x＜-1，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值；
故答案為：-4＜x＜-1；

（3）連接PC、PD，如圖，設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），由△PCA和△PDB面積相等得：
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（x+4）=$\frac{1}{2}×$|-1|×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），
解得：x=-$\frac{5}{2}$，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．