Question

20．兩張長為5寬為1的紙條交叉重疊在一起．
（1）請判別重疊部分四邊形ABCD的形狀，并說明理由．
（2）當(dāng)∠ABC=60°時，求重疊部分圖形的最大面積．

Answer 1

分析 （1）過點B作BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，由題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而求得AB=BC的長，判定四邊形ABCD是菱形；
（2）由三角函數(shù)求出菱形的邊長，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）四邊形ABCD是菱形；理由如下：
過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如圖所示：
∵兩條紙條寬度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵S_?ABCD=BC•AE=CD•AF．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
（2）∵BC=AB=$\frac{AE}{sin∠ABC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴四邊形ABCD的面積=BC•AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
即重疊部分圖形的最大面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形面積的計算方法．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．