Question

12．已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，連接DE，將△BDE以DE為軸翻折，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖②，連接AD，點(diǎn)F是拋物線上A、C之間的一點(diǎn)，直線BF交AD于點(diǎn)P，連接PE，試探索BP+PE是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值，并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+8經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0），B（4，0），列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可；
（2）作DM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，n），在Rt△GDM中，利用勾股定理的知識(shí)求出n的值，進(jìn)而求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）首先求出AC的長(zhǎng)，結(jié)合題意得到BP+PE=CP+PE，C、P、E應(yīng)三點(diǎn)共線，要使CP+PE的值最小，則應(yīng)CE⊥AB，據(jù)此解答即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+8經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8；
（2）如圖①，作DM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，

設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，n），
由翻折的性質(zhì)，可得BD=DG，
∵B（4，0），C（0，8），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-1，4），DM=2-（-1）=3，
∵B（4，0），C（0，8），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△GDM中，
3²+（4-n）²=20，
解得n=4±$\sqrt{11}$，
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4+$\sqrt{11}$）或（-1，4-$\sqrt{11}$）；

（3）易知OA=6，OB=4，OC=8，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，AB=10，
∴AC=AB，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，則AD是BC的垂直平分線，
∴BP=CP，
∴BP+PE=CP+PE，
∵BP+PE的值要最小，
∴C、P、E應(yīng)三點(diǎn)共線，要使CP+PE的值最小，則應(yīng)CE⊥AB，
此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，
∴CP+PE的最小值應(yīng)等于OC，
∵OC=8，
即BP+PE的最小值是8，
直線AD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3，
直線BF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+8}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$（x＜0），
解得x=-$\frac{15}{4}$，y=$\frac{93}{16}$，
此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)（-$\frac{15}{4}$，$\frac{93}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、翻折性質(zhì)、勾股定理以及三點(diǎn)共線等知識(shí)，解答（2）問(wèn)的關(guān)鍵是求出BD的長(zhǎng)，解答（3）問(wèn)的關(guān)鍵是得到要使CP+PE的值最小，則應(yīng)CE⊥AB，此題有一定的難度．