Question

13．已知：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，1）
（1）求該反比例函數(shù)解析式；
（2）連接OB，再把點(diǎn)A（2，0）與點(diǎn)B連接，將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135°得到△OA′B′，寫出A′B′的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，試判斷點(diǎn)P是否在此雙曲線上，并說明理由；
（3）如圖，若該反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)F（2m，m-$\frac{1}{2}$）（其中m＞0），在射線OF上任取一點(diǎn)E，設(shè)E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，過F點(diǎn)作FM⊥x軸于點(diǎn)M，連接EM，使△OEM的面積是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）把B（1，1）代入y=$\frac{k}{x}$即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOA′=135°，OA′=OA，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到A′（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），B′（0，-$\sqrt{2}$），于是得到結(jié)論；
（3）把F（2m，m-$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{1}{x}$，得到m₁=1，m₂=-$\frac{1}{2}$．根據(jù)S_△OEM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）∵B（1，1）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=xy=1×1=1，
∴y=$\frac{1}{x}$．

（2）如圖1，∵A（2，0），B（1，1），
∴OA=2，OB=$\sqrt{2}$，
∵將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135°得到△OA′B′，
∴∠AOA′=135°，OA′=OA，
∴A′（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），B′（0，-$\sqrt{2}$），
∴A′B′的中點(diǎn)為P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$），
∵（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）×（-$\sqrt{2}$）=1，
∴P在雙曲線上；

（3）如圖2，∵F（2m，m-$\frac{1}{2}$）在反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上，
∴m₁=1，m₂=-$\frac{1}{2}$．
又∵m=1，
∴F（2，$\frac{1}{2}$）．
∵FM⊥x軸，
∴m（2，0），∴M（2，0），∴OM=2．
∵S_△OEM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OM•n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{1}{2}$×2n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，銳角三角函數(shù)，得出A′（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），B′（0，-$\sqrt{2}$）是解題的關(guān)鍵．