Question

3．AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接OB，有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線；
（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)；

解答 （1）證明：連接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線．

（2）解：連接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等邊三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠AOF=30°

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．