Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACO=90°．把AO繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°得OB，連接AB，作BD⊥x軸于D，點A的坐標(biāo)為（-3，1）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若AB中點為M，連接CM，點P是射線CM上的動點，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△PQO的面積為S（S≠0），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，動點P在運動過程中，是否存在P點，使以P、O、B、N（N為平面上一點）為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明△AOC≌△OBD，得出AC=OD=1，OC=BD=3，B（1，3），設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，把點A（-3，1），B（1，3）代入得出方程組，解方程組求出k、b，即可得出直線AB的解析式；
（2）先求出M的坐標(biāo)，再求出直線CM的解析式，得出P的坐標(biāo)，即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及t的取值范圍；
（3）分兩種情況：①點P為直線OA與CM的交點時，由直線OA和CM的解析式組成方程組，解方程組即可求出P的坐標(biāo)；
②作BP⊥OB交CM于P，求出直線BP的解析式，再求出直線BP與CM的交點坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：OA=OB，∠AOB=90°，OC=3，AC=1，C（-3，0），
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵BD⊥x軸于D，
∴∠BDO=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△OBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠BDO=90°}&{\;}\\{∠AOC=∠BOD}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴AC=OD=1，OC=BD=3，
∴B（1，3），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
把點A（-3，1），B（1，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{5}{2}$，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）∵M(jìn)是AB的中點，A（-3，1），B（1，3），
∴M（-1，2），
設(shè)直線CM的解析式為：y=ax+c，
把點C（-3，0），M（-1，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3a+c=0}\\{-a+c=2}\end{array}\right.$，
解得：a=1，c=3，
∴直線CM的解析式為：y=x+3，
設(shè)P的坐標(biāo)為（t，t+3），
則△PQO的面積S=$\frac{1}{2}$×t×（t+3）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t，
∵點P是射線CM上的動點，
∴t≥-3，
∴S=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t（t≥-3）；
（3）存在，點P坐標(biāo)為（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$），或（$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{4}$）；
理由如下：分兩種情況討論：
①點P為直線OA與CM的交點時；
∵A（-3，1），
∴直線OA的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=x+3}\end{array}\right.$  得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）；
②作BP⊥OB交CM于P，如圖所示：
則∠OBP=90°，
∵∠AOB=90°，
∴BP∥OA，
設(shè)直線BP的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+b，
把點B（1，3）代入得：b=$\frac{10}{3}$，
∴直線BP的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}}\end{array}\right.$ 得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{4}$）；
綜上所述：存在P點，使以P、O、B、N（N為平面上一點）為頂點的四邊形是矩形，點P坐標(biāo)為P（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$），或（$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{4}$）．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二元一次方程組的解法等知識，本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過分類討論，求出兩條直線的交點才能得出結(jié)果．