Question

如圖所示，平行四邊形ABCD中，以BC、CD為邊向內(nèi)作等邊△BCE和等邊△CDF．求證：△AEF為等邊三角形．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出AB=CD=CF，BE=CE，∠EBA=∠ECF，所以由SAS證△EBA≌△ECF，根據(jù)全等三角形的對應邊、角相等以及等邊三角形的判定證得結論．

解答：證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD．
∵△BCE和△CDF是等邊三角形，
∴BE=CE，CF=CD，∠EBC=∠BCE=∠ECD=60°，
∴AB=FC，∠EBA=60°-∠ABC=60°-（180°-∠BCD）=∠BCD-120°=∠ECF，即∠EBA=∠ECF，
∴在△BEA與△CEF中，

BE=CE EBA=∠ECF AB=FC

，
∴△EBA≌△ECF（SAS），
∴EA=EF，∠BEA=∠CEF，
∴∠BEC=∠BEA+∠AEC=∠CEF+∠AEC=60°，即∠AEF=60°．
∴△AEF是等邊三角形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)已知條件判定△EBA≌△ECF是解題的關鍵．此題是根據(jù)“有一內(nèi)角為60度的三角形是等邊三角形”證得結論的．