Question

1．拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ平行BC交拋物線于Q，P、Q兩點(diǎn)間距離為m
（1）求BC的解析式；
（2）取線段BC中點(diǎn)M，連接PM，當(dāng)m最小時(shí)，判斷以點(diǎn)P、O、M、B為頂點(diǎn)的四邊形是什么四邊形；
（3）設(shè)N為y軸上一點(diǎn)，在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)∠OBN=2∠OBP時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的性質(zhì)先確定出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，即可求出直線BC解析式，
（2）先判斷出m最小時(shí)，直線PQ和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出BM=OP=OM即可判斷出四邊形POMB是菱形．
（3）②先確定出直線PQ解析式，進(jìn)而判斷出直線PQ過點(diǎn)O，即可得出OP∥BC，再用角平分線定理即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，
②借助①得出的點(diǎn)N的坐標(biāo)和對(duì)稱性即可得出y軸正半軸上的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，
∴C（0，2），
令y=0，則0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2，∴x=1或x=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
（2）四邊形POMB是菱形，
理由：如圖，

∵P、Q兩點(diǎn)間距離為m，且m最小，即：m=0，此時(shí)直線PQ和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∵PQ平行BC，∴設(shè)直線PQ解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+b①，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2②，
聯(lián)立①②得，x²-4x+4-2b=0，
∴△=16-4（4-2b）=0，∴b=0，
∴直線PQ解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，P（2，-1），
∴直線PQ過原點(diǎn)，
∴OP∥BM，
∴OP=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∵B（4，0），C（0，2），取線段BC中點(diǎn)M，
∴M（2，1），
∴BM=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴OP=BM，
∵OP=BM，
∴四邊形POMB是平行四邊形，
∵OM=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴OP=OM，
∴平行四邊形POMB是菱形；
（3）由（2）知，B（4，0），P（2，-1），
∴直線BP解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴H（0，-2）
①當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上時(shí)，
∵∠OBN=2∠OBP，
∴BP是∠OBN的角平分線，
∴$\frac{OB}{BN}=\frac{OH}{NH}$，
設(shè)N（0，n），
∵B（4，0），
∴OB=4，OH=2，NK=-2-n，BN=$\sqrt{16+{n}^{2}}$，
∴$\frac{4}{\sqrt{16+{n}^{2}}}=\frac{2}{-2-n}$，
∴n=0（舍）或n=-$\frac{16}{3}$，
∴N（0，-$\frac{16}{3}$），
②當(dāng)點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，由對(duì)稱性得出，N（0，$\frac{16}{3}$）
即點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-$\frac{16}{3}$）和（0，$\frac{16}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定直線解析式，角平分線定理，解本題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)．