Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{3}{4}$x+2m（m＞0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線y=-mx+n經(jīng)過點B，與x軸交于點C，∠BAO=2∠OBC
（1）求m的值
（2）動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段OA向點A運動，動點Q從點A出發(fā)，以每秒$\frac{5}{4}$個單位的速度沿線段AB向點B運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也停止運動，連接PQ，設運動時間為t（t＞0）當t為何值時，線段PQ的長度最小？并求出這個最小值
（3）在（2）的條件下，以OB為直徑作⊙M，問，是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙M相切，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出A，B坐標，進而得出n=2m，再用勾股定理得出AB=$\frac{10}{3}$m，AC=2+$\frac{8}{3}$m，再判斷出AC=AB，建立方程求解即可；
（2）先判斷出PQ最小時的位置，再用相似三角形的性質建立方程即可；
（3）先判斷出△BFM≌△EFM 得到∠BMF=∠EMF，進而判斷出，△BMF∽△OPM∴BF=$\frac{9}{t}$，最后用△BQF∽△AQP建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{3}{4}$x+2m（m＞0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（-$\frac{8}{3}$m，0），B（0，2m），
∵直線y=-mx+n經(jīng)過點B，
∴n=2m，
∴C（2，0），
∴AB=$\sqrt{（-\frac{8}{3}m）^{2}+（2m）^{2}}$=$\frac{10}{3}$m，AC=2+$\frac{8}{3}$m
∵∠BAO=2∠OBC，
∴∠ABO=∠90°-∠BAO=90°-2∠OBC，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°-∠OBC，
∵∠ACB=90°-∠OBC，
∴AC=AB，
∴2+$\frac{8}{3}$m=$\frac{10}{3}$m，
∴m=2，
（2）當PQ⊥OA時，PQ長度最小，
∵OB⊥OA，
∴PQ∥OB
∴△APQ∽△ABO，
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AO}$=$\frac{PQ}{OB}$，
∴$\frac{\frac{5}{4}t}{10}=\frac{8-t}{8}$=$\frac{PQ}{6}$，
∴t=4，
∴PQ=3，
即PQ的最小值為3；
（3）如圖，
設直線PQ與⊙M相切于點E，過B作BF⊥BO交直線PQ于F 連接EM、FM、PM 則BM=EM，BF=EF又∵FM=FM，
∴△BFM≌△EFM
∴∠BMF=∠EMF
同理，∠PMO=∠PME
∵∠BMF+∠EMF+∠PMO+∠PME=180°
∴∠BMF+∠PMO=90°
∵∠OPM+∠PMO=90°，
∴∠BMF=∠OPM
又∵∠MBF=∠POM=90°，
∴△BMF∽△OPM
∴$\frac{BF}{OM}=\frac{BM}{OP}$

∴BF=$\frac{BM}{OP}×OM$=$\frac{3}{t}×3$=$\frac{9}{t}$
∵△BQF∽△AQP，
∴$\frac{BF}{AP}=\frac{BQ}{AQ}$


∴$\frac{\frac{9}{t}}{8-t}=\frac{10-\frac{5}{4}t}{\frac{5}{4}t}$


∴（8-t）²=9

解得t₁=5，t₂=11（舍去）
∴存在某一時刻t，使直線PQ與⊙M相切，此時t=5

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，解本題的關鍵是作出輔助線，也是解本題的難點．