Question

6．已知：點E為AB邊上的一個動點．
（1）如圖1，若△ABC是等邊三角形，以CE為邊在BC的同側(cè)作等邊△DEC，連結(jié)AD．試比較∠DAC與∠B的大小，并說明理由；
（2）如圖2，若△ABC中，AB=AC，以CE為底邊在BC的同側(cè)作等腰△DEC，且△DEC∽△ABC，連結(jié)AD．試判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以CE為邊在BC的同側(cè)作正方形ECGF．
①試說明點G一定在AD的延長線上；
②當(dāng)點E在AB邊上由點B運動至點A時，點F隨之運動，求點F的運動路徑長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可知：BC=AC，CE=CD，然后再證明∠BCE=∠ACD，從而可得到△BCE≌△ACD故此可知∠B=∠DAC；
（2）由于△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC，從而可證得：$\frac{DC}{CE}=\frac{AC}{BC}$，然后再證明∠DCA=∠ECB，所以△DCA∽△ECB，從而可證明∠DAC=∠ACB，由平行線的判定定理可知AD∥BC；
（3）①由正方形的性質(zhì)可知BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，從而可證明△BCE≌△DCG 故此∠B=∠CDG=90°，由于∠ADC=90°，所以點G一定在AD的延長線上；②先證明∠BCE=∠FGH=∠GCD．從而可得到△FHG≌△GDC≌△EBC，然后再證明△AFH是等腰直角三角形，故此∠FAG=45°，所以點F的運動路徑長=AC．

解答 解：（1）∠DAC=∠B 
理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等邊三角形
∴∠DCE=∠ACB=60°
∴∠BCE=∠ACD
在△BEC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC\\;}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACD．
∴∠B=∠DAC．
（2）AD∥BC》
理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC
∴$\frac{DC}{CE}=\frac{AC}{BC}$
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB．
∴△DCA∽△ECB．
∴∠DAC=∠EBC=∠ACB．
∴AD∥BC．
（3）①連結(jié)DG．

∵四邊形ABCD和FECG都是正方形
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°．
∴∠BCE=∠DCG．
∴△BCE≌△DCG．
∴∠B=∠CDG=90°．
∵∠ADC=90°．
∴∠ADC+∠CDG=180°
∴點G一定在AD的延長線上．
②作FH⊥AG于點H．

∵∠BCE+ECD=90°，∠ECD+DCG=90°，
∴∠BCE=∠GCD．
∵∠GCD+∠CGD=90°，∠CGD+∠FGH=90°
∴∠FGH=∠GCD．
∴∠BCE=∠FGH=∠GCD．
在△FHG和△GDC和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠FGH=∠GCD}\\{∠EBC=∠CDG=∠FHG}\\{EC=CG=FG}\end{array}\right.$，
∴△FHG≌△GDC≌△EBC，
∴FH=BE=DG，HG=BC，
∴AH=AG-GH=AD+DG-GH=BC+DG-BC=DG=FH，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴∠FAG=45°．
∴點F的運動路徑長=AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，證得△DCA∽△ECB．
、△FHG≌△GDC≌△EBC是解題的關(guān)鍵．