Question

14．如圖，△ABD內(nèi)接于⊙O，點E是BD上一點，連接AE并延長交⊙O于點F，連接BF，DF；過點B作AD的平行線BC交AF于點C，連接DC并延長交⊙O于點G．
（1）若AE=EC，求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）若AE=1，EC=2，BE=3，$\widehat{AD}$=$\widehat{GF}$，求GD的長．

Answer 1

分析 （1）證明△ADE≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BC，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明；
（2）證明△CEB∽△BEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF，求出AF，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到DG=AF．

解答 （1）證明：∵BC∥AD，
∴∠ADE=∠CBE，
在△ADE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBE}\\{∠AED=∠CEB}\\{AE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBE，
∴AD=BC，又BC∥AD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）解：由圓周角定理得，∠BFE=∠ADB，
∴∠BFE=∠CBE，又∠CEB=∠BEF，
∴△CEB∽△BEF，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{BE}{EF}$，即$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{EF}$，
解得，EF=4.5，
∴AF=AE+EF=5.5，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{GF}$，
∴$\widehat{AD}$+$\widehat{DF}$=$\widehat{GF}$+$\widehat{DF}$，即$\widehat{DG}$=$\widehat{AF}$，
∴DG=AF=5.5．

點評 本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、平行四邊形的判定定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．