Question

3．如圖，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，直線y=$\frac{5}{4}$x與AB交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動，過點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為ts（t＞0）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，求S的最大值；
（3）當(dāng)t在何范圍時(shí)，點(diǎn)（4，$\frac{17}{4}$）被正方形PQMN覆蓋？請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）簡單求兩直線的交點(diǎn)，得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；配方，即可求得二次函數(shù)的最大值，即可得出S的最大值；
（3）求出定點(diǎn)在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍，即可得出點(diǎn)（4，$\frac{17}{4}$）被正方形PQMN覆蓋時(shí)t的取值范圍．要用到分類討論．

解答 解：（1）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+6}\\{y=\frac{5}{4}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴C（3，$\frac{15}{4}$）；

（2）∵直線y=-$\frac{3}{4}$x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴y=0時(shí)，0=-$\frac{3}{4}$x+6，解得；x=8，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為；（8，0），
根據(jù)題意，得AE=t，OE=8-t．
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為$\frac{5}{4}$（8-t），點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-$\frac{3}{4}$（8-t）+6=$\frac{3}{4}$t，
∴PQ=$\frac{5}{4}$（8-t）-$\frac{3}{4}$t=10-2t．
當(dāng)MN在AD上時(shí)，10-2t=t，
∴t=$\frac{10}{3}$．
當(dāng)0＜t≤$\frac{10}{3}$時(shí)，S=t（10-2t），即S=-2t²+10t=-2（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，S有最大值為$\frac{25}{2}$．
當(dāng)$\frac{10}{3}$＜t＜5時(shí)，S=（10-2t）²，即S=4t²-40t+100=4（t-5）²，
∵t＜5時(shí)，S隨t的增大而減小，
∴t=$\frac{10}{3}$時(shí)，S_最大值=$\frac{100}{9}$，
∵$\frac{25}{2}$＞$\frac{100}{9}$，
∴S的最大值為$\frac{25}{2}$；

（3）當(dāng)t=5時(shí)，PQ=0，P，Q，C三點(diǎn)重合；
當(dāng)t＜5時(shí)，知OE=4時(shí)是臨界條件，即8-t=4
即t=4
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5＞$\frac{17}{4}$，
點(diǎn)（4，$\frac{17}{4}$）在正方形邊界PQ上，E繼續(xù)往左移動，則點(diǎn)（4，$\frac{17}{4}$）進(jìn)入正方形內(nèi)部，但點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)再減少，當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{17}{4}$時(shí)，OE=$\frac{17}{5}$，
∴8-t=$\frac{17}{5}$，解得：t=$\frac{23}{5}$，
此時(shí)OE+PN=$\frac{17}{5}$+PQ=$\frac{17}{5}$+（10-2t）=$\frac{22}{5}$＞4滿足條件，
∴4＜t＜$\frac{23}{5}$，
當(dāng)t＞5時(shí)，由圖和條件知，則有E（t-8，0），PQ=2t-10要滿足點(diǎn)（4，$\frac{17}{4}$）在正方形的內(nèi)部，
則臨界條件N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4⇒4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=6，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：-$\frac{3}{4}$×2+6=$\frac{9}{2}$＞$\frac{17}{4}$．滿足條件，
∴t＞6．
綜上所述：4≤t≤$\frac{23}{5}$或t≥6時(shí)，點(diǎn)（4，$\frac{17}{4}$）被正方形PQMN覆蓋．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題目，考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．