Question

1．如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過直線y=-x+5與坐標(biāo)軸的交點B，C．已知D（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）M，N分別是BC，x軸上的動點，求△DMN周長最小時點M，N的坐標(biāo)，并寫出周長的最小值；
（3）連接BD，設(shè)M是平面上一點，將△BOD繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△B₁O₁D₁，點B，O，D的對應(yīng)點分別是B₁，O₁，D₁，若△B₁O₁D₁的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點O₁的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出B、C兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）如圖1中，作點D關(guān)于BC的對稱點D′，點D關(guān)于x軸的對稱點D″，連接D′D″交BC于M，交x軸于N，連接DM，DN．此時△DMN的周長最小．求出D′、D″的坐標(biāo)，直線D′D″的解析式即可解決問題；
（3）分兩種情形①如圖2中，當(dāng)O′和D′在拋物線上時，易知點O′與點C重合，CD′=OD=3，此時O′（0，5）．②如圖3中，點B′、D′在拋物線上時，設(shè)點B′（x，-x²+4x+5）的橫坐標(biāo)為x+1，則點D′的坐標(biāo)為（x+3，-x²+4x+10）．把D′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出x即可解決問題；

解答 解：（1）由題意C（0，5），B（5，0），
把C（0，5），B（5，0）的坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．

（2）如圖1中，作點D關(guān)于BC的對稱點D′，點D關(guān)于x軸的對稱點D″，連接D′D″交BC于M，交x軸于N，連接DM，DN．此時△DMN的周長最�。�

易知D′（2，5），D″（0，-3），
設(shè)直線D′D″的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{2k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=4x-3，
∴N（$\frac{3}{4}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=4x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{8}{5}$，$\frac{17}{5}$），
∴△DMN周長最小時點M（$\frac{8}{5}$，$\frac{17}{5}$），N（$\frac{3}{4}$，0），
△DMN的周長的最小值=D′D″=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

（3）①如圖2中，當(dāng)O′和D′在拋物線上時，易知點O′與點C重合，CD′=OD=3，此時O′（0，5）．

②如圖3中，點B′、D′在拋物線上時，設(shè)點B′（x，-x²+4x+5）的橫坐標(biāo)為x+1，則點D′的坐標(biāo)為（x+3，-x²+4x+10）．

把D′坐標(biāo)代入y=-x²+4x+5中，得到-x²+4x+10=-（x+3）²+4（x+3）+5，
解得x=-$\frac{1}{3}$，
∴B′（-$\frac{1}{3}$，$\frac{32}{9}$），
∴O′（-$\frac{1}{3}$，$\frac{77}{9}$），
綜上所述，滿足條件的點O′的坐標(biāo)為（0，5）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{77}{9}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最值問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．