Question

7．為了美化環(huán)境，學校準備在如圖所示的矩形ABCD空地上進行綠化，規(guī)劃在中間的一塊四邊形MNQP上種花，其余的四塊三角形上鋪設(shè)草坪，要求AM=AN=CP=CQ，已知BC=24米，AB=40米，設(shè)AN=x米，種花的面積為y₁平方米，草坪面積y₂平方米．
（1）分別求y₁和y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當AN的長為多少米時，種花的面積為440平方米？
（3）若種花每平方米需200元，鋪設(shè)草坪每平方米需100元，現(xiàn)設(shè)計要求種花的面積不大于440平方米，設(shè)學校所需費用W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出學校所需費用的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式可得y₂的解析式，再用長方形面積減去四個三角形面積，即可得y₁的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意知y₁=440，即即可得關(guān)于x的方程，解方程即可得；
（3）列出總費用的函數(shù)解析式，將其配方成頂點式，根據(jù)花的面積不大于440平方米可得x的范圍，結(jié)合此范圍根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得函數(shù)的最大值，從而得解．

解答 解：（1）根據(jù)題意，y₂=2×$\frac{1}{2}$•x•x+2×$\frac{1}{2}$（40-x）（24-x）=2x²-64x+960，
y₁=40×24-y₂=-2x²+64x；

（2）根據(jù)題意，知y₁=440，即-2x²+64x=440，
解得：x₁=10，x₂=22，
故當AN的長為10米或22米時種花的面積為440平方米；

（3）設(shè)總費用為W元，
則W=200（-2x²+64x）+100（2x²-64x+960）=-200（x-16）²+147200，
由（2）知當0＜x≤10或22≤x≤24時，y₁≤440，
在W=-200（x-16）²+147200中，當x＜16時，W隨x的增大而增大，當x＞16時，W隨x的增大而減小，
∴當x=10時，W取得最大值，最大值W=140000，
當x=22時，W取得最大值，最大值W=140000，
∴學校所需費用的最大值為140000元．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意列出相關(guān)的函數(shù)解析式是解題的根本，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．